सामग्रीची ओळख: निसर्ग आणि गुणधर्म (भाग 1: सामग्रीची रचना)

प्रा.आशिष गर्ग

भौतिक विज्ञान आणि अभियांत्रिकी विभाग

इंडियन इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नॉलॉजी, कानपूर

व्याख्यान – ०७

ब्राव्हइस लॅटिस

क्रिस्टलमधील सममिती

या व्याख्यानात आपण ब्रवइस जाळी आणि स्फटिकांमध्ये सममिती सुरू करण्याबद्दल चर्चा करणार आहोत. तर, मी तुम्हाला एक संक्षिप्त पुनर्कथन देतो. आम्ही शेवटच्या वर्गातील आदिम, अआदिम जाळीची चर्चा केली. आकृतिबंध किंवा आधार काय आहे? आणि अणू, रेणू किंवा आकृतिबंध यांचे सापेक्ष अभिमुखता आपल्याला कोणत्या प्रकारचे आदिम घटक असतील हे कसे ठरवते. हे आदिम जाळीच्या व्याख्येचे अनुसरण करणे आवश्यक आहे, म्हणजे आदिम युनिट सेलमध्ये, हे पुनरावृत्ती करण्यायोग्य युनिट असले पाहिजे, कोणतेही अंतर किंवा बंद होऊ नये आणि ते पुन्हा सांगण्यायोग्य असले पाहिजे. म्हणून, जर आपण सर्वात लहान संभाव्य पेशी निवडली, ज्यात एकमेकांच्या संदर्भात रेणूंचे अभिमुखता लक्षात घेणे आवश्यक आहे, तर ते असे असले पाहिजे जेणेकरून ते पुनरावृत्तीकरण्यायोग्य असेल. संबंधित सर्व प्रजातींसाठी त्याचा एकसमान परिसर आहे.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०१:२८)

तर, आता मला पुढच्या विषयाला जाऊ द्या. ३-डी मध्ये ७ क्रिस्टल सिस्टम आणि १४ ब्रवइस जाळी आहेत. शिवाय, आपण पाहिले की प्रत्येक अ-आदिम जाळी, जसे की चेहरा केंद्रित घन किंवा शरीरकेंद्रित घन जाळी, घनप्रणालीच्या बाबतीत, जाळीदार बिंदूंच्या संख्येनुसार आदिम जाळीच्या संख्येने बनलेली आहे. तर, उदाहरणार्थ, शरीरकेंद्रित घनामध्ये दोन जाळीदार बिंदू असतात, याचा अर्थ तो दोन आदिम घन जाळीच्या समकक्ष असतो. त्याचप्रमाणे चेहऱ्यावर केंद्रित घन जाळीचे चार जाळीदार बिंदू असतात आणि ते चार आदिम जाळींच्या समकक्ष असते. तर, अ-आदिम जाळीच्या आत आदिम जाळी सहजपणे काढता आली पाहिजे.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०२:४०)

उदाहरणार्थ, एक आदिम जाळी, ती २ डी मध्ये आहे. यात आपल्याकडे जे आहे ते अणूंची एक सरणी आहे. आम्ही पहिला आदिम युनिट सेल काढला आहे, अ₁ आदिम जाळीदार सदिश आहे, अ₂ आदिम जाळी आहे. परंतु, आदिम पेशीची निवड अद्वितीय नाही, मूलत: आपण आदिम सदिश निवडू शकता जे आदिम युनिट पेशीला जन्म देऊ शकते. तर, आपल्याकडे आदिम जाळीदार सदिश आहेत अ₁', अ₂'तथापि, हे वेगळे आहे की ते ए २ सारखे नाही, अ₂' या अणूपासून ते त्या अणूपर्यंत आहे, पण तरीही ते आपल्याला एक आदिम युनिट सेल देते या दोन पेशींचे क्षेत्र एकमेकांच्या बरोबरीने असणार आहे. तुम्ही तिसर् या मध्ये पाहू शकता आणि तुम्ही म्हणता अ₁", आणि अ₂". तर, आदिम जाळीदार वेक्टरची निवड, कारण आपल्याकडे अनेक पर्याय असू शकतात, जोपर्यंत आपण त्या दोन वेक्टर्स किंवा त्या तीन वेक्टर्समधून ३-डी मध्ये आदिम युनिट सेल बनवू शकता तोपर्यंत ही निश्चित निवड नाही. त्याचप्रमाणे, या बाबतीत, आपल्याकडे आहे अ₁'''आपण पाहू शकता की हा एकक सेल आहे जो आपण काढत आहात तो एक अ-आदिम युनिट सेल आहे, जो मोठा आहे.

त्याचप्रमाणे, अ-आदिम युनिट पेशींसाठीही अनेक पर्याय आहेत. तर, या बाबतीत, आपल्याकडे एक अ-आदिम युनिट सेल असू शकतो आणि हा जाळीदार सदिश असू शकतो किंवा तो जाळीदार सदिश असू शकतो. तर, मी ज्यावर भर देण्याचा प्रयत्न करीत आहे ते म्हणजे जेव्हा आपण विशिष्ट आदिम युनिट सेल निवडता तेव्हा आदिम युनिट सेल वेक्टरची निवड एकाधिक असते. त्या वेक्टर्सने आपल्याला नेहमीच त्याच प्रकारच्या एकाच क्षेत्राचा आदिम युनिट सेल का दिला?

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०४:३८)

बीसीसीमध्ये पहिला सेट आहे,

स्थिर बांधलेल्या आदिम जाळीतील सदिशांचा हा संच किंवा पर्यायाने आपल्याकडे वेक्टर्सचा संच असू शकतो, जो बीसीसीमध्ये अधिक सोयीस्कर वाटतो, आपण जे निवडता ते सममितीवर अवलंबून आहे, परंतु अनेक शक्यता आहेत. हा बीसीसी युनिट सेल आहे. तर, आपण तेथे असलेल्या अणूंची तपासणी करीत आहोत. हे मध्यभागी आहे, हे उजव्या बाजूला आहे, हा खाली अणू आहे आणि हा अणू आहे जो नकारात्मक बाजूवर कुठेतरी आहे. म्हणून, उदाहरणार्थ, आपण येथून येथे निवडू शकला असता, हा एक जाळीदार सदिश असू शकतो. म्हणून, या बाबतीत, आम्ही हा मुद्दा मूळ म्हणून घेत आहोत, म्हणूनच आम्ही तेथे खाली असलेला अणू निवडला आहे. तर, आपण पाहू शकता की हे वाय आहे, हे एक्स आहे आणि हे झेड आहे. तर, हा वेक्टर या दिशेने अर्धा वाय आहे; अर्धे झेड, जे ही दिशा आहे आणि नंतर अर्धे एक्स. तर, हे तुम्हाला बरोबर सामोरे जात आहे. तर, एक्स या दिशेने आहे हा अणू पेशीच्या आत आहे आणि हे आपल्या समोरच्या पेशीच्या बाहेर आहे, हे युनिट सेलमधील मध्यवर्ती अणूच्या उजव्या बाजूला आहे, हे युनिट सेलमधील मध्यवर्ती अणूचा तळ आहे. तर, आपण पाहू शकता की सेट आहे,

आणि हे वेक्टर दुरुस्त करून तुम्ही युनिट सेलला असं काहीतरी बनवू शकता. तर, तुमच्याकडे जाळी आहे आणि तुमच्याकडे जाळीचे भाषांतर आहे. आता तुम्ही त्यांना जोडता आणि तुमच्याकडे जे आहे ते तुम्ही अशा गोष्टीने संपवले पाहिजे. तर, हा एक आदिम पेशी आहे आणि हे प्रमाण एका आदिम युनिट पेशीच्या प्रमाणाच्या निम्मे आहे.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०७:५३)

हे एफसीसीच्या बाबतीत आहे, जिथे आपल्याकडे वेक्टर असू शकतात. तर, हे मूळ म्हणून निवडा; हे ए १, ए २ आहे आणि हे ए ३ आहे. तर, कोपऱ्याचे अणू परिणामी तीन फेस सेंटर अणूंशी जोडले जातात,

जर तुम्ही तुमचा उगम वेगळ्या प्रकारे निवडलात, तर तुमचे वेक्टर आणि चिन्हे बदलतील. म्हणून, जर आपण या तीन वेक्टरवापरापासून जोडले गेले, तर आपल्याला हे समांतरग्राम किंवा क्यूबमध्ये समांतर पाईपद्वारे मिळते. हा आदिम पेशी आहे. अ-आदिम युनिट पेशीमध्ये आदिम असते? सर्वात लहान जाळीचा अनुवाद सदिश काय आहे? आपण हेच पाहतो, म्हणून, तो आदिम जाळीदार सदिश आहे, जो आदिम जाळीदार सदिश आहे कारण एक आदिम पेशी दोन आदिम पेशींनी बनलेली आहे. तर, आपण नेहमीच अ-आदिम पेशीमध्ये आदिम जाळीदार वेक्टर निवडू शकता.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १०:०१)

अ-आदिम जाळीदार वेक्टर हा एक घन असेल. तर, अ-आदिम जाळीदार वेक्टर हे असेल, ते आणि ते, परंतु हे सर्वात लहान जाळीदार भाषांतर वेक्टर आहेत ज्यात आदिम जाळीदार सदिश आहेत.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १०:१८)

तर, मला वाटते की आधीच्या एका वर्गात मी तुम्हाला शक्य असलेल्या २-डी जाळी काढण्यास सांगितले होते. तर, आपण प्रथम पाहू शकता अशा काही शक्यता आहेत, अ बरोबरी नाही ब आणि θ 90 च्या बरोबरीने नाही⁰. इतर दोन शक्यता आहेत अ बरोबरी नाही ब, पण θ ९० च्या बरोबरीने आहे⁰आणि तिसरा, अ बरोबरी नाही बआणि θ 90 च्या बरोबरीने आहे⁰पण तुझ्याकडे अणू आहे. अ मध्यभागी. तर, ही एक आयताकृती केंद्रित जाळी आहे. तर, ही एक तिरकस जाळी आहे, ही एक आयताकृती आणि केंद्रित आहे, हे षटकोनी आहे ज्यात अ समान आहे ब, θ 120 च्या बरोबरीने आहे⁰आणि मग तुझ्याकडे एक चौरस जाळी आहे जिथे अ समान आहे ब आणि θ 90 च्या बरोबरीने आहे⁰.

तर, या शक्यता आहेत ज्या 2डी मध्ये अस्तित्वात आहेत, ब्राव्हइस जाळीच्या पाच शक्यता. तर, आता आम्ही आदिम आणि अआदिम युनिट सेलबद्दल बोलत आहोत आणि आम्ही आदिम युनिट पेशींच्या अनेक शक्यता आहेत असेही सांगितले आहे. एखाद्याला व्यवस्थांच्या प्रकारानुसार एक चौरस असू शकतो आणि आपल्याकडे समांतर ग्राम असू शकतो. तर, अनेक शक्यता पुरवल्या जातात; त्यांच्याकडे प्रति युनिट सेल फक्त एकच जाळीदार बिंदू आहे. प्रश्न असा होता की, तुम्ही निकष कसा परिभाषित करता? तर, आपण अनेक शक्यतांसह संपत नाही. तुम्ही त्यांना विशिष्ट निकषांमध्ये कसे बसवता आणि तिथेच या स्फटिक प्रणालीची प्रणाली अस्तित्वात आली. जाळीदार मापदंड आणि त्यांच्या परस्परसंबंधांवर आधारित स्फटिक प्रणालीनुसार वर्गीकरण.

मग, हा निकष तुम्हाला कसा मिळेल? हे आपण सममितीवर आधारित पाहू शकता. तर, आपण अंतर्ज्ञानी असू शकता की क्यूब टेट्रागॉनच्या तुलनेत अधिक सममित आहे कारण घनाच्या तीन समान बाजू असतात, त्यात सर्व 90 असतात⁰ कोन, आणि टेट्रागॉनमध्ये सर्व 90 आहेत⁰ कोन, पण त्याची एक बाजू आहे जी इतर दोन च्या तुलनेत वेगळी आहे. हा निकष काय आहे, असा प्रश्न पडतो का? हा निकष विकसित करण्यासाठी काही स्फटिकशास्त्र सममित विचार ांचे पालन करावे लागेल. आम्ही आता पुढील काही मिनिटांत तो सममिती निकष हाती घेऊ.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १३:१०)

तर, आता आपण क्रिस्टलमधील सममिती नावाच्या या पासून काय सुरू करतो आणि आपल्याला हे समजून घेण्याची गरज का आहे? तर, स्फटिक प्रणाली वर्गीकरण आणि ब्रवइस लॅटिसच्या निवडीच्या आधारे आपण तर्कशास्त्र समजू शकतो. हा खूप गुंतागुंतीचा विषय आहे. त्यामुळे दुर्दैवाने, या कोर्समध्ये आपल्याकडे स्फटिकाच्या संपूर्ण पैलूंभोवती जाण्यासाठी पुरेसा वेळ नाही, परंतु त्याचा सामना कसा करावा यावर एक सोपा आधार प्रस्थापित करण्याचा प्रयत्न करू. मग, सममिती म्हणजे काय?

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १४:०९)

हा पहिला प्रश्न आहे. तर, या प्रश्नाचे उत्तर असे आहे की, सममिती हे एक ऑपरेशन आहे, जे त्यात एखादी वस्तू आणते ते मूळ राज्य आहे. म्हणून, उदाहरणार्थ, जर मी हा चौक घेतला, तर मी त्यावर काय सममिती ऑपरेशन करू शकतो जेणेकरून ते तसेच दिसेल. एक संभाव्य पर्याय म्हणजे जर मी हे चौकाचे केंद्र म्हणून निवडले आणि मी ते ९० वळवतो⁰ या अक्षाभोवती आवर्तन. तर, अक्ष कागदाच्या विमानाला लंबवर्तुळाकार आहे. म्हणून, जर मी 90 लागू केले तर⁰ रोटेशन, मग हे पुन्हा सारखेच दिसते, ते पुन्हा चौकोनी आकारात येते. तर, हे ९० आहे⁰ आळीपाळी। तर, याला रोटेशन सममिती म्हणतात.

त्याचप्रमाणे जर तुम्ही त्रिकोण, समविचारी त्रिकोण घेतला, तर त्यावर तुम्हाला कोणते ऑपरेशन करण्याची गरज आहे? तर, हे त्रिकोणाचे केंद्र आहे आणि मी 120 प्रदान करतो⁰ आळीपाळी। तर, ते त्याच आकारात दिसते. तर, ही केवळ ऑपरेशन्सची उदाहरणे आहेत जी आपण वस्तूला एकाच आकारात आणण्यासाठी करू शकता. तर, आपल्याला का समजून घेण्याची गरज आहे कारण त्यांची सममिती जाळीचे वर्गीकरण करते.

तर, हे केवळ हे रोटेशन नाही, जे एक सममिती घटक आहे. अनेक सममिती घटक आहेत. मग, हे सममिती घटक काय आहेत? म्हणून मी म्हटल्याप्रमाणे सममिती हे एक ऑपरेशन आहे, जेव्हा तुम्ही एखाद्या वस्तूवर कामगिरी करता तेव्हा तुम्ही आत्म-योगायोगाच्या स्थितीत आणता. तर, आता आपण हे सममिती ऑपरेशन्सचे सममिती ऑपरेशन्सचे प्रकार काय आहेत ते पाहूया?

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १६:३१)

तर, सममिती ऑपरेशन्सचे प्रकार, पहिले भाषांतरात्मक सममिती आहे कारण जर आपण फक्त 1-डी लॅटिसपासून सुरुवात केली तर. तर, आपण म्हणू या, जर तुमच्याकडे १-डी जाळीचे हे प्रकरण असेल आणि आपण येथे फक्त अणू ठेवला असेल. तर, आपण पाहू शकता की, जर आपण या बिंदूवरून त्या बिंदूकडे वेक्टर टीद्वारे हललात, 1-डी मध्ये अनंत बिंदूंमध्ये, तर हा जाळीदार भाषांतर वेक्टर टी, स्वयं-योगायोगाच्या स्थितीत आणतो कारण हा मुद्दा त्या बिंदूसारखाच आहे, तर हे भाषांतर आहे. तर, आपण ज्याला भाषांतरात्मक सममिती म्हणतो त्याचे हे प्रकरण आहे आणि हे १-डी मधील एक परिभाषित सममिती आहे. तर १-डी मध्ये, आपल्याकडे भाषांतरात्मक सममिती असणे आवश्यक आहे.

आता, जर मी त्याच्या सभोवतालचा आकृतिबंध बदलला, तर हे पुन्हा १-डी मध्ये आहे. तिथे एक अणू म्हणून आकृतिबंध ठेवण्याऐवजी मी असा आकृतिबंध ठेवतो. मग, माझ्याकडे इथे काय आहे? माझ्याकडे ट्रान्सलेशन टी आहे, पण माझ्याकडे आरशाची सममितीदेखील आहे. तुम्ही हे थोडेवाईट करू शकता. जर आपण हे केले तर आपण आरसा नाहीसा करू शकता. तर, आपण असे म्हणू या की हे गडद होते. तर, आरसा बरोबर नाहीसा झाला आहे, परंतु तो अजूनही आहे कारण आता आकृतिबंध आहे. तर, सुरुवातीला आकृतिबंध ए होता आणि आता तो एए आहे, आता आकृतिबंध एबी आहे. 1-डी मध्ये, आपण भाषांतर आणि मिरर किंवा प्रतिबिंब सारखे ऑपरेशन करू शकता. ते १-डी, २-डी, ३-डी वर लागू होतात, परंतु १-डी मध्ये शक्य असलेली एकमेव दोन प्रकरणे ही २ आहेत. तर, आपण थोडे अधिक गुंतागुंतीकडे जाऊ या.

(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: २०:१८)

2-डी मध्ये, रोटेशन घटकाची भर आहे, उदाहरणार्थ, जर मी ही जाळीदार झेड घेतली, तर ते स्वयं-योगायोगात आणण्यासाठी मला त्यावर काय रोटेशन प्रदान करणे आवश्यक आहे? मला ते 180 पर्यंत फिरवणे आवश्यक आहे⁰. तर, जर मी या बिंदूभोवती 180 पर्यंत फिरलो⁰, तो तोच आकार बनेल. रोटेशनल सममितीच्या बाबतीत, आम्ही याची व्याख्या फोल्ड एन-फोल्ड सममिती म्हणून करतो.

तर, सममितीच्या दुमडांची संख्या नाही आणि हे एन काय आहे? एन 360 च्या बरोबरीने आहे⁰ थेटा, किंवा रोटेशनच्या कोनाने विभागलेले. तर, हा रोटेशनचा कोन आहे. तर, या बाबतीत, काय होणार नाही? ते २ असेल. आता, तुम्ही यातून 2-डी लॅटिस कसे बनवू शकता? समविचारी त्रिकोणाच्या बाबतीत θ 120 च्या बरोबरीने असेल⁰, θ 90 च्या बरोबरीने असल्यास एन 3 च्या बरोबरीने असेल⁰, एन ४ च्या बरोबरीने आहे.

शिवाय काही फुलं पाहिली तर मला ती फारशी सममित नाही, तर ती आहे. तर, काही फुलांमध्ये ५ पाकळ्या चांगल्या असतात. तर, तुमच्याकडे येथे ५ पाकळ्या आहेत. तर, येथे आपल्याला 72 चे रोटेशन प्रदान करणे आवश्यक आहे⁰, ५ पट. बर्फाच्या चकत्या पाहिल्या किंवा अशा गोष्टी पाहिल्या तर त्या ६ पट सममिती आहेत. तर, येथे आपल्याला 60 चे रोटेशन प्रदान करणे आवश्यक आहे⁰आणि हे एन 6 च्या बरोबरीने असेल आणि आपल्याकडे 45 असल्यास आपल्याला आठपट सममितीसारख्या गोष्टीदेखील असू शकतात⁰ काही वस्तूंच्या बाबतीत आवर्तन.

तर, 7-फोल्ड सममिती नाही, 13 पट; ११ पट, ते सर्व येथे अनुपस्थित आहेत. तर, आणि एक गणिती आधार आहे की मी त्याचा तपशील का घेऊ शकत नाही, परंतु 7, 11 आपण पाहू शकता की येथे, 9 गहाळ आहे, 9-फोल्ड नाही; १३ पट तिथे नाही. क्रिस्टलोग्राफीमध्ये अगदी ५ पट परवानगी नाही कारण ती जागा भरत नाही.

मुद्दा असा आहे की, आपण त्या प्रमाणात रोटेशन घेऊ शकता, परंतु जर एखादी वस्तू जागा भरली नाही तर. स्फटिकशास्त्रात महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे, क्रिस्टल स्फटिकपदार्थांमध्ये, त्या ऑपरेशनने जागा भरली पाहिजे. तर, ५ पट वस्तू जागा भरत नाही. त्यामुळे स्फटिकपदार्थांमध्ये ५ पट सममिती दिसून येते. सामग्रीचा आणखी एक वर्ग आहे, जो दर्शवितो की ५-फोल्ड सममितीला अर्ध क्रिस्टललाइन सामग्री म्हणून संबोधले जाते, परंतु ते असमतोल सामग्री आहेत.

तर, त्याचप्रमाणे इतर सममितीदेखील त्या साहित्याद्वारे १० पट सममिती किंवा ९ पट सममिती दर्शवितात, काही साहित्य त्यांना दाखवू शकतात, परंतु सामान्यपणे स्फटिकसामग्रीमध्ये दिसतात. तर, स्फटिकपदार्थांच्या बाबतीत, आपल्याला ज्यामध्ये बहुतेक रस आहे तो म्हणजे एन-फोल्ड 2-फोल्ड, 3-फोल्ड, 4-फोल्ड आणि 6-फोल्ड आणि 1-फोल्ड सममिती. तर, आता, मी काढलेल्या या जाळीकडे परत येऊया. तर, या बाबतीत आपण हे या जाळीत पाहू शकता.

तर, जर मी या बिंदूभोवती रोटेशन दिले तर २ पट रोटेशनदेखील शक्य आहे, ३ पट शक्य आहे का? तिपटीने होण्याची शक्यता नाही. ४-फोल्ड शक्य आहे. ६ पट, ५ पट शक्य नाही. तर, यात 2 आणि 4 आहेत. तर, अर्थातच, या बिंदूच्या आसपास, त्याचे ४-फोल्ड असेल, परंतु या बिंदूवर आपण देखील २-फोल्ड घेऊ शकता. तर, आपण प्रत्येक बिंदूजास्तीत जास्त संभाव्य सममितीद्वारे परिभाषित करता. तर, येथील हे केंद्र, हे आपल्याला 4-फोल्ड प्रदान करू शकते. म्हणून, जरी ते आपल्याला 2-फोल्ड देखील प्रदान करू शकते, आपण 4-फोल्डद्वारे चित्रित केले आहे, कारण 4-फोल्ड ही उच्च सममिती आहे जी आपण या बिंदूभोवती फिरवून साध्य करू शकता. तर, या मुद्द्यांच्या आसपास, हे २ गुण म्हणून चित्रित केले गेले आहेत कारण ते आपल्याला ४-फोल्ड देऊ शकत नाहीत. ते तुम्हाला फक्त २ पट देऊ शकतात. तर, आपण या सममिती बिंदूंचे परिवलन सममिती बिंदू अशा प्रकारे जाळीत चित्रित करता.

आता, आपण पाहू शकता की जर तुमच्याकडे चौरस जाळी असेल आणि मी पुरेसा सममित किंवा गोलाकार असा आकृतिबंध निवडला तर तुम्हाला 2-फोल्ड आणि 4-फोल्ड मिळते, परंतु आता आपण म्हणू या, जाळी एक चौरस आहे, परंतु मी या त्रिकोणांनी आकृतिबंध ाची जागा घेईन. तर, मी आता आकृतिबंध बदलला आहे. त्यात ४-फोल्ड किंवा २-फोल्ड सममिती आहे का?

त्यात २ पट नाही, नाही त्याला ४-फोल्ड नाही. तर, मला येथे जोर देणे अभिप्रेत आहे, आपण सममित दिसणाऱ्या पारंपारिक व्याख्येनुसार जाऊ शकत नाही. आपल्याला या व्याख्यांच्या सममितीनुसार जावे लागेल, ज्यामुळे ते अगदी विशिष्ट बनते. तर, जरी ते स्क्वेअर ग्रीडसारखे दिसत असले तरी प्रत्यक्षात ती चौकोन जाळी नाही कारण ती ४ पट अनुसरण करत नाही, त्यात ४ पट सममिती नाही, त्यात ३ पट सममितीदेखील नाही, कारण जर आपण ३-फोल्ड सममिती ऑपरेशन केले तर ते एकमेव ऑपरेशन राहत नाही, म्हणून त्यात फक्त १-फोल्ड सममिती आहे. आपण पाहू शकता की त्यात फक्त १-फोल्ड सममिती, रोटेशनल सममिती आहे. तर, म्हणूनच, स्फटिकशास्त्रात, घन घन असू शकत नाही; जर त्यात सममितीचे घटक नसतील जे घनासाठी विशिष्ट असतील, जे मी थोड्या वेळात येईन. तर, आपण येथे चलो आणि आता आपण पुढच्या व्याख्यानाला जाऊ शकतो.